算术平均数与几何平均数（一）

教学目标

（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；
（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；
（3）能够解决一些简单的实际问题；
（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；
（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式： ，根据这个结论，又得到了一个定理： ，并指出了 为 的算术平均数， 为 的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。

（2）重点、难点分析

本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．

㈠定理教学的注意事项

在公式 以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：

（1） 和 成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数。

例如 成立，而 不成立。

（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：

当 时取等号，其含义就是：

仅当 时取等号，其含义就是：

综合起来，其含义就是： 是 的充要条件。

（二）关于用定理证明不等式

当用公式 ， 证明不等式时，应该使学生认识到