旋转的三角也疯狂——基于圆锥体积公式推导的数学思考

面对书本，如果对知识没有了质疑，对挑战没有了渴望，对自我没有了信心，那么学习的过程就没有了惊叹，没有了思辨，没有了期待，没有了乐趣—那不是我想要的课堂。
变故突生，课堂遭遇意外
　　圆锥体积的推导，最常用的就是倒三次水的方法，清楚明白地发现圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。小学6年级的时候，我学过一次，等我当了教师，我教过学生两次。今天还是上这节课，轻车熟路，实验和讲解都很顺利，学生开始做练习了。
过了一会儿，教室里有了些不和谐的声音，起先还压抑着，后来掩不住兴奋炸裂开来。两个脸涨得通红的男同学，高声叫着，“二分之一！是二分之一！你看。”“孙老师”，其中叫范托的学生激动地说：“你先看，这个三角形的面积是不是这个长方形的一半？”一个涂得脏兮兮的长方形，以及一个沿这个长方形的对角线对折后剪下来的三角形出现在我眼前(如图一)。
　　“对呀。”
　　“那这个呢？”他又拿出和刚才相同的两个图形。
　　“也是呀。”
　　“这样两个叠起来，两个三角形的体积是不是两个长方形的一半。”
　　“是呀。”
“那3个、4个、很多个叠起来呢？”
　　“也是二分之一啊。”
　　“那就对了。”他得意地说，接着开始演示，他把一个长方形和一个三角形粘在一起，以一条宽为轴，用手拨动另外一边旋转360度（如图三），拨一下，数一下，“1张、2张、3张…… 一起转的，那张数是一样多，长方形转一圈就是圆柱,三角形转一圈就是圆锥,那圆锥的体积不就是圆柱的二分之一吗?”
　　教室里突然静了下来，部分学生已经停下了对作业的讨论，盯着讲台上的三角形碎片想着刚才的推论。
　　太突然了，我深吸一口气让自己保持镇定，头脑中迅速地调动相关知识：旋转成形的任一瞬间，三角形的面积都是长方形的二分之一，由于是同步旋转，因此旋转的度数完全相同，也就是说，累计叠加的个数也完全相同，因此，由无数个三角形旋转叠加而成的圆锥的体积，应该就是由同样多个数的长方形旋转